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翻茶杯的“奇全偶半”法

作者：我形我数　

2008-03-13 14:02　

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翻茶杯的“奇全偶半”法

有a只杯口朝上的茶杯，每次翻动其中的b只，是否可以经过有限次翻动使全部杯子杯口朝下？

此题目除了a是奇数、b是偶数时达不到目的以外，都可以经过若干次翻动使全部杯子杯口朝下。当然，翻动的次数越少越好，我们将翻动的最少次数记为c，当a能被b整除时，显然c=a÷b。除此之外，我们分三种情况来讨论翻动的最少次数c。

（一）a、b都是奇数时，c为使b×c＞a的最小奇数。

例1、有13只杯口朝上的茶杯，每次翻动其中的5只，需3次就可全

部翻过去。3为使5×3＞13的最小奇数。

（二）a、b都是偶数，当a＜2b时，c=3；当a＞2b时，c为使b×c＞a的最小自然数。

例2、有10只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的6只，需3次可

使全部杯子杯口朝下。

例3、有18只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的4只，需5次可使

全部杯子杯口朝下。

（三）a为偶数、b为奇数。

（1）当a＞2b时，c为使b×c＞a的最小偶数。

例4、有8只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的3只，需4次可使全部杯子杯口朝下。

上面的（一）、（二）、（三）（1）几种情况（见例1~4），具体翻法是：首先从左边翻动b只杯子，以后从左至右依次翻动，当右边剩下的杯口朝上的杯子数为偶数，且小于2b时，即例1~4中标明“偶半”的前一步，还需再翻动两次，第一次翻动右边杯口朝上杯子的一半（因为杯口朝上的杯子数的偶数，且翻动一半，这就是“偶半”的含义），不足部分由左边补，此时杯口朝上的杯子数恰好是b只，再翻一次即可。

（2）当 a＜2b时，c与a－b有关。

将a÷（a－b）的最大偶数商记为|a÷（a－b）|，例如a=10，b=7，则|a÷（a－b）|=2。如果a能被a－b整除，则c=a÷（a－b）；如果a不能被a－b整除，则c=|a÷（a－b）|+2。